6 Mayıs 2008 Salı

DeKLeM KuRMa ProBLeMLeRi

A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ

Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;

1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.

2) Verilenler matematik diline çevrilir.

3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.

4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.

1) Herhangi bir sayı x olsun.

Sayının a fazlası : x + a dır.

Sayının a fazlasının yarısı :

Sayının yarısının a fazlası :

Sayının küpünün a eksiği : x3 – a dır.

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.

Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.

Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.

Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.

Ardışık üç tam sayının toplamı :

x + (x + 1) + (x + 2) dir.

Ardışık üç çift sayının toplamı :

x + (x + 2) + (x + 4) tür.

C. KESİR PROBLEMLERİ

a, b Î Z ve b ¹ 0 için ye kesir denir.

  • Herhangi bir sayı x olsun.

Bu sayının sı :

Bu sayının sının b fazlası :

Bu sayısı kadar artırılırsa :

Bu sayının si ile sinin toplamı :

D. YAŞ PROBLEMLERİ

  • Bir kişinin yaşı x ise,
  • T yıl önceki yaşı : x – T
  • T yıl sonraki yaşı : x + T olur.
  • Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.
  • İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.
  • İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.
  • n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;

A işçisi tek başına a saatte,

B işçisi tek başına b saatte,

C işçisi tek başına c saatte

yapabiliyorsa;

  • A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.
  • A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.

    A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,

Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

sini doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

F. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı

x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol

t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine

Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi

Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı

yakalama süresi yine

Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

A sayısının % a sı :

A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :

A ya A nın % a sı eklenirse :

A dan A nın % a sı çıkarılırsa :

H. FAİZ PROBLEMLERİ

F : Faiz miktarı

A : Ana para (Kapital)

n : Yıllık faiz oranı

t : Kapitalin faizde kalma süresi

olmak üzere,

t yılda,
t ayda,
t günde,

Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ

A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

® Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı % (100 – A) dır.

MoDüLeR AriTMaTik

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü ise , a º b (mod m)

a º b + mk, k Î Z

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir.

Buna göre, Z/m = {0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1)} dir.

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak

böleni ise

8) a ile m ve b ile m aralarında asal olmak

üzere, dir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

xm – 1 º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi

m = ak . b r . c p ve

xT º 1 (mod m) dir.

m asal sayı ise ,

(m - 1)!+1 º 0 (mod n) dir.

İşLeM

İŞLEM
A. TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özelliği

" a, b Î A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özelliği

" a, b Î A için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme Özelliği

" a, b, c Î A için aD (bD c) = (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

" x Î A için, xD e = e Dx = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun.

" a Î A için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise,D xişlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.

  • Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
  • Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özelliği

" a, b, c Î A için,

a * (bD c) = (a * b)D(a* c) ise,

* işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.

(aD b) * c = (a * c)D(b * c) ise,

* işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.

* işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa * işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

7. Yutan Eleman Özelliği

" x Î A için, xDi y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir.

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

Ü b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur. Buna göre, b * c = a dır.

Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır.

Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır.

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATİK SİSTEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, * işlemi A da tanımlı olsun.

(A, *) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi* işlemine göre bir gruptur.

  1. A, * işlemine göre kapalıdır.
  2. A üzerinde * işleminin birleşme özelliği vardır.
  3. A üzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
  4. A üzerinde *işlemine göre her elemanın tersi vardır.
A üzerinde tanımlı * işleminin değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır.

  1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
  2. A kümesi*işlemine göre kapalıdır.
  3. *işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

Ü * işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır.

Ü * işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir.

TeMeL KaVrAmLaR

TEMEL KAVRAMLAR

A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı sayılar rakam değildir.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar

IN ={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

3. Pozitif Doğal Sayılar

IN+ = {1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.

4. Tam Sayılar

Z = {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z , pozitif tam sayılar kümesi : Z+ ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, Z = Z È Z+ È {0} dır.

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

Q = { : a, b Î Z ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.

6. İrrasyonel Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir.

Qı = { biçiminde yazılamayan sayılar: a, b Î Z ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.

Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7. Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kü-mesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

IR = Q È Qı biçiminde gösterilir.

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar

C| = {a + bi | a, b Î IR ve i =Ö-1 } kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

n Î Z olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {... , – 2n , ... , – 4, – 2, 0, 2, 4, ... , 2n , ...}

biçiminde gösterilir.

2. Tek Sayı

n Î Z olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {... , – (2n – 1), ... , – 3, – 1, 1, 3, ... , (2n – 1), ...} biçiminde gösterilir.

T : Tek sayı

Ç : Çift sayıyı göstersin.

T ± T = Ç

T ± Ç = T

Ç ± T = T

Ç ± Ç = Ç

T . T = T

T . Ç = Ç

Ç . T = Ç

Ç . Ç = Ç

T ± T = Ç

T ± Ç = T

Ç ± T = T

Ç ± Ç = Ç

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.
  • Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
  • Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
  • Sıfır (0) çift sayıdır.

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

Ü a <>

  • a, b negatif sayılardır.
  • c, d pozitif sayılardır.
  • İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
  • İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b <>
  • Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
  • m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.
  • Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
  • Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
  • Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
  • Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
  • Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

  • En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
  • Asal sayıların çarpımı asal değildir.

5. Aralarında Asal

En az biri sıfırdan farklı en az iki , ortak bölenlerin eb büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

D. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

Ü n bir tam sayı olmak üzere,

  • Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

    n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

  • Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

    2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

  • Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

    2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

  • Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

    3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Ardışık Sayıların Toplamı

Ü n bir sayma sayısı olmak üzere,

  • Ardışık sayma sayılarının toplamı

  • Ardışık çift doğal sayıların toplamı

    2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)

  • Ardışık tek doğal sayıların toplamı

    1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

  • Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

r : İlk terim

n : Son terim

x : Artış miktarı olmak üzere,









Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.


MuTLaK DeĞeR

mutlak değer ve özellikleri
A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.



Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

1) |x| = |– x| ve |a – b| = |b – a| dır.
2) |x . y| = |x| . |y|
3) |xn| = |x|n
4) y ¹ 0 olmak üzere,

5) |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
6) a ³ 0 ve x Î IR olmak üzere,
|x| = a ise, x = a veya x = – a dır.
7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir.
8) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

9) x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| – |x – b|

ifadesinin en küçük değeri x = a için, en büyük değeri ise x = b için bulunur.

10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

*
  • |x| < a ise, – a < x < a dır.
    * |x| £ a ise, – a £ x £ a dır.

    11) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

    *
  • |x| > a ise, x < – a veya x > a dır.
    * |x| ³ a ise, x £ – a veya x ³ a dır.
  • 1 Mayıs 2008 Perşembe

    DENKLEM ÇÖZME

    BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

    A. TANIM

    a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

    ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

    Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

    B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

    1) a = b ise, a ± c = b ± c dir.

    2) a = b ise, a . c = b . c dir.

    3) a = b ise,



    4) a = b ise, an = bn dir.

    5) a = b ise,


    6) (a = b ve b = c) ise, a = c dir.

    7) (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d

    8) (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

    9) (a = b ve c = d) ise,


    10) a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

    11) a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.


    12)

    = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

    C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

    1) a ¹ 0 olmak üzere,

    ax + b = 0 ise,




    2) (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi

    dir.

    3) (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

    D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ


    a, b, c Î

    , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

    ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

    Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

    Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.


    a, b, c Î

    olmak üzere,

    ax + by + c = 0


    denklemi her (x, y) Î

    için sağlanıyorsa

    a = b = c = 0 dır.

    Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

    Çözüm Kümesinin Bulunması

    Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

    Biz burada üçünü vereceğiz.

    a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

    Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.


    b. Yerine Koyma Yöntemi:
    Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.

    Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.


    c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

    Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

    Ü ax + by + c = 0

    dx + ey + f = 0


    denklem sistemini göz önüne alalım:

    Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.


    Birinci durum:

    ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

    Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.


    İkinci durum:

    ise, bu iki doğru çakışıktır.

    Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

    Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.


    Üçüncü durum:

    ise, bu iki doğru paraleldir.

    Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

    Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.