1 Mayıs 2008 Perşembe

kArTeZyEn çArPıM - BaĞıNTı

KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI

1.KARTEZYEN ÇARPIM

A.Sıralı İkili

a ve b gibi iki nesnenin belli bir öncelik sırasına göre (a,b) biçiminde tek bir nesne olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir.Burada a ya ikilinin birinci bileşeni,b ye de ikinci bileşeni denir.

UYARI: Bir sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir.Bileşenlerin sırası değişirse başka bir ikili elde edilir.Yani a b ó (a,b) (b,a) dır.

KURAL: (a,b) = (x,y) ó a = x ve b = y dir.

Örnek-1

(x-1,4) = (5,y+2)

olduğuna göre , x . y çarpımı kaçtır?

A)4 B)6 C)8 D)10 E)12

Çözüm:

(x -1,4) = (5,y + 2) ó x – 1 = 5 ve 4 =y + 2 dir.

x- 1 = 5 è y = 2ve x . y = 6 . 2= 12 dir.

Cevap:E

B.Kümelerde Kartezyen Çarpım

1.Tanım

A ve B boş olmayan iki küme olsun.Birinci bileşeni A dan,iknci bileşeni B den alınarak oluşturulan bütün ikililerin kümesine A ile b kümesinin kartezyen çarpımı denir.

A x B = {(x,y)│x € A ve y € B} dir.

Örnek-2:

A={1,2}

B={3,4,5}

Olduğuna göre,A x B, B x A ve A x A kümelerini bulalım.

Çözüm:

Ax B ={(x , y)│x € A /\ y € B } A x A ={(x,y)│x € A /\ y € A}

={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} olur.

B x A ={(x , y)│x € B /\ y € A }

={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)} olur.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1.Kartezyen çarpımın birleşme özeliği vardır.

A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C dir.

2.Kartezyen çarpımın değişme özeliği vardır.

A B è A x B B x A dır.

3.Kartezyen çarpımın etkisiz elemanı yoktur.

4.Kartezyen çarpımın yutan elemanı boş küme ( ) dir.

5.Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı:

s(A x B) = s(B x A) = s(A) . s(B) dir.

6.Kartezyen çarpımın kesişim,birleşim ve fark işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır.

A x (B C) = (A x B) (A x C)

A x (B C) = (A x B) (A x C)

A x (B – C) =(A x B) – (A x C) dir.

Örnek – 3 :

A = {1,2}

B = {1,2,3,4,5}

C ={1,3,5,7}

Olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesini bulalım.

Çözüm

1.Yol:

A x B ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)}

A x C ={(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(2,1),(2,3),(2,5),(2,7)} olduğuna göre,

(A x B) (A x C) = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5)} olur.

2.Yol:

(A x B) (A x C) = A x ( B C) …(*)

B C= {1,3,5} …(**) olduğuna göre,

(A x B) (A x C) = A x (B C)

={1,2} x {1,3,5}

={(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5)} olur.

Örnek – 4 :

A = { x│3 <>

B = { - 1, 0,1,2,3}

Olduğuna göre, s(A x (A B)) kaçtır?

A)32 B)28 C)16 D)9 E)4

Çözüm

Karesi 3 ile 36 arasında olan sayma sayıları 2,3,4,5 tir.

A = {2,3,4,5} ve s(A) = 4 tür.

A B = {-1,0,1,2,3,4,5} ve s(A B) = 7 dir.

O halde ; s(A x(A B)) = s(A) . (A B)

= 4 . 7

= 28 olur.

Cevap:B

Analitik Düzlem ve Kartezyen Çarpımın Grafiği

Bir düzlemde birbirini sıfır noktasında dik kesen iki sayı doğrusunun kesiştikleri nokta O olsun.

Burada O noktasına başlangıç noktası veya orijin, yatay konumdaki sayı doğrusuna Ox ekseni veya apsisler ekseni, düşey konumdaki sayı doğrusuna da Oy ekseni veya ordinatlar ekseni denir.

O noktası ile bu eksenlerden oluşan sisteme dik koordinat sistemi yada kartezyen koordinat sistemi denir.

A x B kartezyen çarpımının grafiği: A nın elemanları yatay eksen (Ox ekseni) üzerinde B nin elemanları düşey eksen (Oy) ekseni üzerinde gösterilir.

Örnek-5

A = {1,2}

Kümesi veriliyor.

Buna göre , A x A nın elemanlarını analitik düzlemde gösterelim

Çözüm

A x A = A ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

BAĞINTI

A.TANIM

A ve B boş kümeden farklı birer küme olsun. A x B nin her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.A kümesine bağıntının tanım kümesi,B kümesine de değer kümesi denir.


B x A nın her bir alt kümesine A dan A ya bir bağıntı denir.

A x A nın her bir alt kümesine A dan A ya bir bağıntı yada kısaca A da bir bağıntı denir.

ß ,A dan B ye bir bağıntı ise ; ß A x B ve

ß = {(x,y)│(x,y) A x B} dir.

ß A x B olsun.(x,y) € ß ise y ß x biçiminde gösterilir ve y elemanı ß bağıntısıyla x elemanına bağlıdır denir.

(x,y) € ß ise ß(x) = y olarak da gösterilebilir ve x in ß altındaki görüntüsü y dir denir.

Örnek – 6:

A = {1,a,b}

Olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A da bir bağıntı değildir?

A) ß1 = Ǿ

B) ß2 = {(1,1)}

C) ß3 ={(1,1),(a,b),(b,a)}

D) ß4 ={(a, 1)}

E) ß5 ={(1,2),(2,1),(a,b)}

Çözüm

A x A = {(1,1),(1,a),(1,b),(a,1),(a,a),(a,b),(b,1),(b,a),(b,b)} olur.

Bu kümenin her bir alt kümesine A da bir bağıntı denir.

(1,2) A x A ve (2,1) A x A olduğundan ß5 A x A olup ß5,A da bir bağıntı değildir.

A x A olduğunu kümeler konusundan hatırlayınız.

Örnek – 7:

A = {a,b}

B = {1,2,3}

Olduğuna göre, A dan B ye tanımlanabilecek bazı bağıntıları yazalım.

Çözüm

A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} bu kartezyen çarpımın her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

ß1 ={(a,1)}

ß2 ={(a,1),(b,3),(a,3)}

ß3 ={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(b,3)

Örnek – 8:

A = {1,2,3,4,5}

ß = {(1,3),(2,5),(3,1)}

ß, A da bir bağıntı olduğuna göre, ß bağıntısının grafiğini çizelim.

Çözüm

Örnek – 9 :

A = {-2 , -1, 0,1,2}

ß = {(x,y)│ y = x }

ß,A da tanımlı bir bağıntıdır.

Buna göre, ß yı liste yöntemiyle yazalım.

Çözüm

x= - 2 ise x = 4 A

x= -1 ise x =1 € A

x=0 ise x =0 € A

x=1 ise x =1 € A

x=2 ise x =4 A olduğuna göre,

ß = {(-1,1),(0,0),(1,1)} olur.

BAĞINTININ TERSİ

A dan B ye bir ß bağıntısı verilsin. ß bağıntısındaki bütün ikililerin birinci ve ikinci bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya, ß bağıntısın tersi denir ve ß ile gösterilir.

ß A x B

ß B x A

ß = {(y,x)│(x,y) € ß }dır.

Örnek – 10:

ß = {(1,1),(1,2),(3,4),(2,1)} ise

ß = {(1,1),(2,1),(4,3),(1,2)} dir.

Örnek – 11:

A = {2,3,4} kümesinde

ß = {(x,y) │x <>

bağıntısı tanımlanıyor.

ß ve ß i liste yöntemiyle yazıp grafiğini gösterelim.

Çözüm

x

A = {2,3,4} ise, ß = { (2,3),(2,4),(3,4)} ve

ß = {(3,2),(4,2),(4,3)} olur.

Sonuç: ß bağıntısının grafiği ile ß bağıntısının grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.

Örnek – 12:

Sayma sayıları kümesiyle tanımlı,

ß = { (x,y) │x + 2y = 10 }

bağıntısı veriliyor.

Buna göre, ß bağıntısını tanımlayıp elemanlarını bulalım.

Çözüm

ß = { ( x,y) │x + 2y = 10 } ise

ß = { ( x,y) │y + 2x = 10} olur.

X ve y birer sayma sayısı ve y + 2x = 10 olduğuna göre,

x = 1 è y + 2 . 1 = 10 è y = 8

x = 2 è y + 2 . 2 = 10 è y = 6

x = 3 è y + 2 . 3 = 10 è y = 4cc

x = 4 è y + 2 . 4 = 10 è y = 2 olur.

Buna göre , ß = { (1,8),(2,6),(3,4),(4,2) } dir.

BAĞINTININ ÖZELİKLERİ

1.Yansıma Özeliği

ß, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A nın her x elemanı için (x ,x) € ß bağıntısının yansıma özeliği vardır veya ß yansıyan bir bağıntıdır denir.

Örnek – 14 :

A = {1,2,3}

Kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyandır?

A) ß1 = { }

B) ß2 = {(1,1),(2,2)}

C) ß3 = {(1,1)(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}

D) ß4 = {(1,1),(1,3),(2,3),(3,1),(2,1)}

E) ß5 = A x A – { ( 1, 1) }

Çözüm

ß3 bağıntısı yansıyandır.Çünkü x A için (x,x) ß3 tür.Yani ß3 de

(1,1),(2,2) ve (3,3) elemanları vardır . ß1 , ß2 , ß4 ve ß5 de bu elemanlardan bazıları yoktur.

Cevap C

UYARI : ß A x A ve ß = { (x,y)│x € A ve y € B}

Bağıntısının yansıyan olup olmadığını anlamak için, bağıntıda y yerine x

yazılır.Elde edilen bağıntı A kümesinde daima doğru ise b bağıntısı yansıyandır.

Örnek – 15 :

A = {1 , 3 , 5 , 7} kümesinde

ß = {(x,y) │x ≤ y }

bağıntısı tanımlanıyor.

ß bağıntısının yansıyan olduğunu gösterelim.

Çözüm

Bağıntıda y yerine x yazalım. x ≤ y, x ≤ x olur.

Bu ifade daima doğru olduğundan ß yansıyandır.

Sonuç: Yansıyan bağıntının elemanları koordinat düzleminde gösterildiğinde köşegen (y = x doğrusu) üzerindeki elemanların hepsi bağıntıya aittir.

2. Simetrik Özeliği

ß, A da tanımlı bir bağıntı olsun.Eğer her (x,y) € ß için (y,x) € ß ise ß bağıntısının simetri özeliği vardır veya ß simetriktir denir.

Örnek – 16:

A = {2,4,6,8} kümesinde tanımlı,

ß1 = {(2,4),(4,2)} bağıntısı simetriktir.

ß2 = {(2,2),(4,4),(6,6)} bağıntısı simetriktir.

ß3 = {(2,4),(4,2),(2,6)} bağıntısı simetrik değildir.

ß4 = ß3 {(6,2)} bağıntısı simetriktir.

UYARI : 1) ß bağıntısı simetrik ise ß = ß dir.

2) Simetrik olan ß bağıntısının elemanları koordinat şemasıyla gösterilirse elemanların köşegene (y = x doğrusuna ) göre simetriği vardır.Köşegen üzerinde eleman bulunabilirç

3) ß A x A ve ß = {(x,y) │ (x,y) € A x A)} bağıntısının simetrik olup olmadığını anlamak için,bağıntıda x ile y nin yerleri değiştirilir.Elde edilen bağıntı verilen bağıntı ile aynı ise verilen bağıntı simetriktir.

Örnek – 18:

Sayma sayıları kümesinde,

ß = {(x,y) │ 3 böler ( x + y)}

bağıntısının simetrik olduğunu gösterelim.

Çözüm

3 sayısı ( x + y ) yi bölerse, ( y + x ) i de böler.O halde, ß bağıntısı simetriktir.

Örneğin, (1,2) € ß è ( 2 , 1 ) € ß dır.

3.Ters Simetrik Özeliği

ß , A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun.

# Her (x,y) € ß için (x,y) € ß iken x = y oluyorsa,

# x y iken her (x,y) € ß için (y,x) ß ise

ß bağıntısının ters simetri özeliği vardır veya ß ters simetrik bir bağıntıdır denir.

Sonuç : ( x , x ) biçiminde bir ikilinin ß da olması ß nın ters simetri özeliğini bozmaz.

Örnek – 18 :

A = {0,1,2,} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki bağıntıların ters simetri özeliği vardır.

ß1 = {(1,3)}

ß2 = {(1,1),(2,2),(1,0)}

ß3 = {(0,0),(1,2),(1,3),(2,1)}

Çözüm

(1,3) € ß1 iken (3,1) ß1 olduğundan ß1 ters simetriktir.

(1,0) € ß2 iken (0,1) ß2 olduğundan ß2 ters simetriktir.

(1,2) € ß3 iken (2,1) ß3 olduğundan ß3 ters simetrik değildir.

UYARI : 1) Simetrik ve ters simetri özeliklerinden her ikisini de aynı anda sağlayan bağıntılar olabileceği gibi iki özeliğin ikisini de sağlayan bağıntılar da olabilir.

2) ß = {(x,y) │x € A ve y € A, (x,y) € A x A} bağıntısının ters simetrik olup olmadığını anlamak için, bağıntıda x ile y nin yerleri değiştirilir.Elde edilen bağıntı x y iken verilen bağıntıyla ortak çözülür.Çözüm kümesi boş küme ise bu bağıntı ters simetriktir.

Örnek – 19:

Sayma sayıları kümesi üzerinde tanımlanan

ß = {(x,y) │ y = x + 1}

bağıntısının ters simetrik olup olmadığını inceleyelim.

Çözüm

Bağıntıda x ile y nin yerleri değiştirilerek elde edilen denklemle verilen bağıntıdaki denklemi ortak çözelim.

y = x + 1 … (1)

x = y + 1 … (2)

(1)deki y değerini (2) de yazalım.

x = x + 1 + 1

x = x + 2

x – x = 2

0 = 2

Bu bir çelişkidir. Yani ;iki denklemin ortak çözüm kümesi boş kümedir.

O halde ß bağıntısı ters simetriktir.

Örnek – 20:

A = {2,4,6,8} kümesinde tanımlanan

ß1 = {(2,2),(4,4),(6,6),(8,8)}

ß2 = {(2,2),(2,4),(4,2),(4,6)}

ß3 = {(2,4),(4,2)}

ß4 = Ǿ

bağıntılardan;

ß1 de ; yansıma , simetri ve ters simetri özelikleri vardır.

ß2 de ; yansıma , simetri ve ters simetri özeliklerinden hiçbiri yoktur.

ß3 de ; yansıma ve ters simetri özeliği yoktur. Fakat simetri özeliği vardır.

ß4 de ; yansıma yok , simetri ve ters simetri özeliği vardır.

4.Geçişme Özeliği

ß , A da tanımlı bir bağıntı olsun.

Her [(x , y) € ß ve (x , y) € ß oluyorsa ß bağıntısının geçişme özeliği vardır veya ß , A da geçişken bir bağıntıdır denir.

Örnek – 21 :

A = { 0 , 2 , 4 , 6 } kümesinde tanımlı

ß1 = {(2 , 4),(4 , 6),(4 , 6)}

ß2 = {(6 , 4)}

ß3 = {(2 , 4),(2 , 6),(4 , 0),(4 , 6)}

bağıntılarından hangileri geçişkendir ?

Çözüm

ß1 geçişkendir. Çünkü , (2 , 4) € ß1 /\ (4 , 6) € ß1 iken (2 , 6) € ß1 dir.

ß2 geçişkendir. Bir elemanlı bağıntılar daima geçişkendir.

ß3 geçişken değildir. (2 , 4) € ß3 /\ (4 , 0) € ß3 iken (2 , 0) ß3 tür.

(2 , 4) € ß3 /\ (4 , 6) € ß3 olması ß3 te geçişme özeliğinin varlığını göstermez.

UYARI : ß = {(x , y) │x € A ve y € A, (x , y) € A x A}

Bağıntısının geçişken olup olmadığını anlamak için , bağıntıda x yerine y , y yerine z yazılarak elde edilen bağıntı , verilen bağıntı ile ortak çözülür ve (x,z) nin ß elemanı olduğu gösterilirse verilen bağıntı geçişkendir denir.

Örnek – 22 :

Sayma sayıları kümesi (N ) üzerinde

ß = {(x , y) │x + 3y = 4k , k € N }

bağıntısı tanımlanıyor.

Bu bağıntının geçişken olduğunu gösterelim.

Çözüm

(x , y) € ß è x + 3y = 4 k1 , (k1 € N ) . . . (1)

(y , z) € ß è y + 3z = 4 k2 , (k2 € N ) . . . (2)

(1) ve (2) taraf tarafa toplanırsa,

x + 4y + 3z = 4 k1 + 4 k2

x + 3z = 4 k1 + 4 k2 – 4y

x + 3z = 4 k(k1 + k2 + - y) , [(k1 + k2 – y) € N ] . . . (*)

O halde, x + 3 . z de 4 ün tam katıdır.

Yani (x , z) € ß dır.

D. Bağıntı Sayısı

s(A) = m

s(B) = n

olsun.

1) A dan B ye tanımlanan bağıntı sayısı : 2 dir.

2) B den A ya tanımlanan bağıntı sayısı : 2 dir.

3) A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı : 2 dir.


Hiç yorum yok: